Les barres rouges et bleues

Le
travail de Maria Montessori est particulièrement impressionnant en
mathématiques (sa formation d’ingénieur y est certainement pour quelque chose). La
méthodologie et l’approche pédagogique sont autant uniques que remarquables. Si tous les enfants pouvaient apprendre cette
matière ainsi, il n’y aurait plus de
« défaillants »…
Pour
cette série d’articles, je me suis inspirée du livre « Psychoarithmetik »
de Maria Montessori (dont la traduction ne semble pas exister en français) qui traite de l’approche mathématique et de sa
progression en maternelle et au primaire. Lorsque je citerai des passages
directement, je les mettrai en évidence et j’ajoute que c’est ma propre
traduction de l’allemand vers le français.

Les barres rouges et bleues

Après que l’enfant ait travaillé en sensoriel les barres rouges vers 3ans et demi (ou plus tard), on lui propose les barres rouges et bleues comme premier matériel dans l’apprentissage des mathématiques. Selon Maria Montessori, à ce stade, l’enfant a déjà appris des lettres rugueuses et sait composer de petits mots.
Avec ces barres, il ne s’agit pas de dévoiler quelque chose d’inconnu, mais plutôt d’ancrer une première représentation des quantités ainsi que du nom des chiffres que les enfants ont pu voir et entendre dans leur vie quotidienne.
Sur chaque barre, on peut compter les unités se succédant jusqu’à la fin de la barre:
un
un, deux
un, deux, trois
un, deux, trois, quatre
un, deux, trois, quatre, cinq
un, deux, trois, quatre, cinq, six
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix
La dernier nom de chaque barre indique la sommes des unités contenues dans une barre et il désigne le tout.
Ce mot peut devenir le nom attribué à chaque barre: la barre de trois, la barre de neuf etc…
La compréhension de la relation entre le nom du chiffre et la quantité correspondante est ainsi facilitée pour l’enfant.
Ces barres ne servent pas uniquement à compter. Elles désignent clairement le rapport entre le nom du chiffre et sa quantité correspondante ainsi que leur place dans l’ensemble du système. L’intérêt du système n’est donc pas alors uniquement le comptage, mais surtout les rapports des barres entre elles. (cf chapître1.1 du livre « Psychoarithmetik » de Maria Montessori)

Pour l’utilisation et la progression des barres rouges et bleues:
Après que l’enfant ait pris l’habitude de bien aligner les barres à gauche, on lui propose une leçon en trois temps pour chacune des barres.
Les chiffres rugueux
Pour consolider les quantités et leurs noms, Maria Montessori propose maintenant d’introduire les chiffres rugueux.
Il s’agit d’un matériel des 10 petites tablettes sur lesquels on trouve les chiffres en papier de verre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 (la présentation du chiffre 0 n’a lieu qu’après la présentation des fuseaux). L’enfant doit parcourir ces chiffres plusieurs fois avec ses mains pour s’imprégner physiquement de son tracé et il prononce le chiffre pour assimiler ainsi le tracé au nom du chiffre. La main s’habitue progressivement à retracer leur forme.

Pour l’utilisation des chiffres rugueux:
Comme pour les lettres rugueuses, on fait une leçon en trois temps pour chaque chiffre, et dès qu’un chiffre est su, on propose de le tracer sur une ardoise à carreaux.
L’association des barres rouges et bleus avec les chiffres 
Associer des barres et des chiffres devient un acte tout naturel et évident. On pose un carton avec les chiffres 1-10 (et non les chiffres rugueux!) à coté de chaque barre pour que l’enfant assimile la quantité avec le chiffre écrit. Parfois même, l’enfant a compris avant la présentation de l’association que ces deux matériels vont ensemble…

L’idée des opérations d’addition et de soustraction
On propose maintenant à l’enfant de trouver le complément à 10 avec les barres rouges et bleues. L’enfant trouvera par exemple que la barre qui complétera le 9 jusqu’à 10 est la barre de 1. L’enfant aura ainsi acquis l’idée de l’addition (mais, bien-sûr, on ne parle pas en terme d’addition à ce moment-là). Nous faisons de même pour la soustraction en enlevant une barre à une paire de barres qui complètent 10.

On peut ensuite proposer des « jeux » pour trouver deux barres qui ont la même longueur que par exemple la barre de 7 (4+3=7 mais aussi 3+4=7). Et ainsi de suite pour toutes les barres.
L’enfant complète ainsi toutes les combinaisons possibles pour les différentes barres entre 1 et 10. L’enfant comprendra rapidement la limite des opérations possibles: il n’y a que 4 possibilités pour le complément à 10. L’enfant aura ainsi 5 lignes de barres de 10 qui ont la même longueur (10, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4) et il ne reste plus que la barre de 5.
Maria Montessori a remarqué que ce processus d’apprentissage permet à l’enfant la visualisation d’un calcul conceptuel qui dépasse ses capacités d’abstraction à cet âge.

En travaillant avec ce matériel M. Montessori s’est finalement aperçue que ce matériel contenait plus de sens qu’elle n’en avait trouvé en le réalisant. Si on met la barre de 10 et en dessous les barres qui se complètent à dix, on obtient 5 rangées de barres de la même longueur (donc la moitié de 10) et il reste la barre de 5. On voit maintenant que la somme de toutes les unités contenues dans ce système donne: 5 x 10 + 5 = 55
On découvre ainsi une formule qui permet de calculer la somme de toutes les unités contenues dans ce système. Il suffit simplement de multiplier le chiffre le plus grand avec sa moitié et d’additionner ensuite cette moitié.
M. Montessori a ainsi réalisé que cette formule peut s’appliquer au calcul de la sommes d’unités contenus dans un système:


Dans une suite de nombres grandissants toujours d’une unité, on peut former des groupes dont la somme est égale au plus grand chiffre.

Pour être très concret: si on veut calculer par exemple le nombre de fuseaux dont nous avons besoin pour fabriquer le matériel des fuseaux, nous appliquons tout simplement cette formule. Notre nombre le plus grand est donc le 9. Avec la formule cela donne: (9² + 9) / 2 = 90 / 2 = 45. C’est une application toute simple et bien pratique pour finalement beaucoup de choses.

On voit là combien un matériel pertinent permet à l’intelligence de commencer à explorer des horizons plus vastes. Le système des barres incarne des principes que l’enfant conceptualisera plus tard et auxquels on ne fait pas allusion lors du travail avec ces barres. Les barres représentent le noyau du système décimal et du système métrique (la première barre mesure 10cm, la deuxième 20cm etc).

Ces particularités non encore accessibles à l’enfant sont contenues dans le système sans l’alourdir. L’enfant conceptualisera plus tard ce que le matériel lui aura réellement permis d’appréhender. La puissance du matériel mathématiques de M. Montessori tient au fait qu’il assure comme un pont sensoriel entre le réel environnant et les futures abstractions auxquelles l’enfant plus âgé pourra alors se livrer.
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2 Commentaires

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  1. 1
    mg

    Chère Marie, merci de nous partager tout cela. Qd tu parles du livre "psycho arythmétique", il existe en français: "psycho-géométrie" de MM, réédité en 2011,DDB. Penses-tu que c'est la même chose?

  2. 2
    En Terre dEnfance

    Marie-Gabrielle, le livre dont tu parles n'est pas la psychoarythmétique mais la géométrie pour les enfants plus grands. C'est en quelque sorte le deuxième volume. C'est pour cela que c'est dommage de ne pas avoir éditer d'abord le premier.

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